（1）试验可以在相同条件下重复进行； （2）每次试验的可能结果不止一个，但能事先明确试验的所有可能结果； （3）进行一 次试验之前 ，不能确定哪一个结果会出现 。

具有以上三个特征的试验叫做随机试验。 简称为试验，用记号 E 表示。

把随机试验的所有基本事件组成的集合称为样本空间，常用 Ω \Omega Ω来记。其中基本事件也称为样本点。

随机试验中的每一个可能结果称为随机事件（简称为事件），常用大写字母A,B,C等表示。

不可能再分的事件称为基本事件；而由基本事件复合而成的事件，称为复合事件 。

基本事件: 不可能再分的事件。 复合事件:由基本事件复合而成的事件。 必然事件: 一定发生的事件,记作 Ω \Omega Ω。 不可能事件:一定不发生的事件,记作 ϕ \phi ϕ。

无 论 是 必 然 事 件 、随 机 事 件 还 是 不 可能 事 件 ， 都 是 相 对 “ 一 定 条 件 ” 而 言 的 。条 件 发 生 变 化 ， 事 件 的 性 质 也 发 生 变 化 。

若记 Ω \Omega Ω：样本空间, ϕ \phi ϕ：不可能事件， e： 基本事件，A， B，… 为随机事件。则有事件之间的运算关系如下：

（1）包含关系：如果事件 A 发生必导致事件 B发生， 称事件 B 包含事件 A，记作A ⊂ \subset ⊂B （2）相等关系：如果A ⊂ \subset ⊂B且B ⊂ \subset ⊂A，则称事件A 与B 相等，记作 A=B；

（3）和事件：事件A与B中，至少有—个发生，记作 A ∪ B A\cup B A∪B; （4）积事件：事件 A、B同时发生，记作 A ∩ B A\cap B A∩B (简记为 A B AB AB）；

（5）差事件： 事件 A与事件 B 的差事件,记作 A − B A-B A−B，表示 A发生而 B不发生； （6）互不相容（互斥）：若$ AB=\phi$，则称事件 A与事件 B互不相容；

（7）对立事件（余事件）： 事件B的对立事件记作 B ‾ \overline{B} B， 表示事件B不发生； 若$ AB=\phi且A\cup B$ ，则称事件 A与事件B互逆， 即 A ‾ = B , B ‾ = A \overline{A}=B,\overline{B}=A A=B,B=A。

对立事件一定是互斥事件， 但互斥事件不一定是对立事件.

（1）交换律： A ∪ B = B ∪ A ; A ∩ B = B ∩ A A\cup B=B\cup A;A\cap B=B\cap A A∪B=B∪A;A∩B=B∩A

（2）结合律： A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C ; A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C;A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C;A∩(B∩C)=(A∩B)∩C

（3）分配律： A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( B ∪ C ) ; A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( B ∩ C ) A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(B\cup C);A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(B\cap C) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(B∪C);A∩(B∪C)=(A∩B)∪(B∩C)

（4）德·摩根律： A ∪ B ‾ = A ‾ ∩ B ‾ ; A ∩ B ‾ = A ‾ ∪ B ‾ \overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B};\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B} A∪B=A∩B;A∩B=A∪B

（5） 差积转换律： A − B = A B ‾ A-B=A\overline{B} A−B=AB

频率：在相同的条件下， 进行了 n 次试验， 在这 n 次试验中，事件 A发生的次数 n A n_A nA​称为事件 A 发生的 频数 ，比值 n A n \frac {n_A}{n} nnA​​ 称为事件 A发生的 频率 ，记作 f n ( A ) f_n(A) fn​(A)

频率的一般性质：

概率的统计定义：在随机试验 E E E中， 当试验次数 n n n逐渐增大时， 频率值 f n ( A ) f_n(A) fn​(A) 趋于稳定， 即在某个数 p p p附近波动，称数为事件 A 的概率， 即 P ( A ) = p P(A)=p P(A)=p。当 n 很大时， f n ( A ) ≈ p f_n(A)\approx p fn​(A)≈p。人们总是用 n n n很大时 f n ( A ) f_n(A) fn​(A) 作为 P ( A ) P(A) P(A) 的近似值， 即 P ( A ) ≈ f n ( A ) ( n 很 大 ) P(A)\approx f_n ( A ) ( n很大) P(A)≈fn​(A)(n很大)。

设$ \Omega 是 一 样 本 空 间 ， 称 满 足 下 列 三 条 公 理 的 集 函 数 是一样本空间， 称满足下列三条公理的集函数 是一样本空间，称满足下列三条公理的集函数P(·) 为 定 义 在 为定义在 为定义在n$上的概率：

非负性:对任意事件 A， P ( A ) ≥ 0 P(A)\geq0 P(A)≥0;

规范性: P ( n ) = 1 P(n) = 1 P(n)=1;

可列可加性:若两两互不相容的事件列$ \lbrace A_n\rbrace$是可列的， 则 P ( ∑ i = 1 ∞ A i ) = ∑ i = 1 ∞ P ( A i ) P(\sum_{i=1}^\infty A_i)=\sum_{i=1}^\infty P(A_i) P(i=1∑∞​Ai​)=i=1∑∞​P(Ai​)

具有下列两个特点的试验称为古典概型试验。

对于古典概型试验， 事件 A 发生的概率为 P ( A ) = A 中 基 本 事 件 数 n 中 基 本 事 件 数 = m n P(A)=\frac {A中基本事件数}{n中基本事件数}=\frac {m}{n} P(A)=n中基本事件数A中基本事件数​=nm​

计算古典型概率 P(A) 的关键是找出 A 中的基本事件数， 在计算过程中常常用到排列组合的知识， 有时也需要用列举法逐一分析 A 中的基本事件.

不放回抽样： 第一次抽取后， 不放回， 第二次从剩余的样本中抽取 。

放回抽样： 第一次抽取后， 观察后放回， 搅匀后再抽取.则第二次抽取前的情况和第一次抽取前的情况相同 。

不重复排列公式： 从 n n n个不同元素中任取 m m m个不同元素按照一定的顺序排成一列， 其排列数为 P n m = n ! ( n − m ) ! P_{n}^m= \frac{n!}{(n-m)!} Pnm​=(n−m)!n!​ 可重复排列公式： 从 n n n个不同元素中有放回地抽取 m m m个元素， 按照一定顺序排成一列， 其排列总数为 N = n m N=n^m N=nm

组合公式： 从 " 个不同元素中每次取出个不同元素， 不考虑顺序组成一组， 其组合总数为 C n m = 1 m ! P n m = n ! m ! ( n − m ) ! C_n^m=\frac 1 {m!}P_n^m=\frac {n!}{m!(n-m)!} Cnm​=m!1​Pnm​=m!(n−m)!n!​ 组合性质 : C n m = C n n − m ; C n m = C n − 1 m + C n − 1 m − 1 ; ∑ r = 0 m C n 1 r C n 2 m − r = C n 1 + n 2 m ; ∑ m = 0 m C n m = 2 n C_n^m=C_n^{n-m};C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1};\sum_{r=0}^{m}C_{n_1}^{r}C_{n_2}^{m-r}=C_{n_1+n_2}^{m};\sum_{m=0}^{m}C_n^m=2^n Cnm​=Cnn−m​;Cnm​=Cn−1m​+Cn−1m−1​;r=0∑m​Cn1​r​Cn2​m−r​=Cn1​+n2​m​;m=0∑m​Cnm​=2n 加法原理： 如果完成一件工作有 m m m个不同方法， 其中任何一个方法都可一次完成这件工作。假设第 i i i个方法有 n i n_i ni​个方案， i = 1 , 2 , ⋯   , m , i=1,2,\cdots,m, i=1,2,⋯,m, 则完成该工作的全部方案有 n 1 + n 2 + ⋯ + n m n_1+n_2+\cdots+n_m n1​+n2​+⋯+nm​个 。

乘法原理： 如果一件工作需先后经 m m m个不同步骤才能最后完成， 其中第 i i i个步骤有 n i n_i ni​个不同方案, i = 1 , ⋯   , m , i=1,\cdots,m, i=1,⋯,m,则完成该件工作共有 n 1 n 2 ⋯ n m n_1n_2\cdots n_m n1​n2​⋯nm​种不同方案。

几何概型 ： 如果随机试验的样本空间是一个区域(例如直线上的区间、平面或空间中的区域） ， 而且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么事件 A 的概率为 P ( A ) = A 的 测 度 ( 长 度 、 面 积 、 体 积 ） 样 本 空 间 的 测 度 ( 长 度 、 面 积 、 体 积 V ) P(A)=\frac {A 的测度(长度、 面积、体积）}{样本空间的测度(长度、 面积、体积V)} P(A)=样本空间的测度(长度、面积、体积V)A的测度(长度、面积、体积）​

几何概率的计算中往往需要利用定积分及重积分求面积或体积

条件概率 ：设两事件 A , B A,B A,B 且$ P(A)> 0,$则称 P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) P(B\mid A)=\frac {P(AB)}{P(A)} P(B∣A)=P(A)P(AB)​ 为事件 A 发生的条件下， 事件 B 发生的条件概率 。

条件概率与概率有相同的性质 ：

对任意事件B， 0 ≤ P ( B ∣ A ) ≤ 1 0\leq P(B\mid A)\leq 1 0≤P(B∣A)≤1

P ( Ω ∣ A ) = 1 P(\Omega\mid A)=1 P(Ω∣A)=1

若 B 1 , B 2 , ⋯ B_1,B_2,\cdots B1​,B2​,⋯是两两互斥事件，则有 P ( ⋃ i = 1 ∞ B i ∣ A ) = ∑ i = 1 ∞ P ( B i ∣ A ) P(\bigcup_{i=1}^\infty B_i\mid A)=\sum_{i=1}^\infty P(B_i\mid A) P(i=1⋃∞​Bi​∣A)=i=1∑∞​P(Bi​∣A)

对任意两事件 B 1 , B 2 , B_1,B_2, B1​,B2​,有 P ( B 1 ∪ B 2 ∣ A ) = P ( B 1 ∣ A ) + P ( B 2 ∣ A ) − P ( B 1 B 2 ∣ A ) . P(B_1\cup B_2\mid A)=P(B_1\mid A)+P(B_2\mid A)-P(B_1B_2\mid A). P(B1​∪B2​∣A)=P(B1​∣A)+P(B2​∣A)−P(B1​B2​∣A).

① 条件概率与一般概率的区别.

条件概率是指在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率.条件概率是以 A 这样一个新的样本空间来考虑问题的 ；

一般概率是以基本事件的总数构成的样本空间来考虑的.

② 注 意 条 件 概 率 和 乘 法 之 间 的 区 别.

P(BA)表示 A 发生并且 B 发生的概率;

P(B|A) 表示在A 发生的条件下 B 发生的概率.

P ( A B ) = { P ( A ) P ( B ∣ A ) , 当 P ( A ) > 0 P ( B ) P ( A ∣ B ) , 当 P ( B ) > 0 P(AB)= \begin{cases} P(A)P(B\mid A), & \text{当$P(A)>0$} \\ P(B)P(A\mid B), & \text{当$P(B)>0$} \end{cases} P(AB)={P(A)P(B∣A),P(B)P(A∣B),​当P(A)>0当P(B)>0​

划分：设 Ω \Omega Ω为试验E的样本空间 , B 1 , B 2 , ⋯   , B n ,B_1,B_2,\cdots,B_n ,B1​,B2​,⋯,Bn​为 E E E的一组事件.若

则称 B 1 , B 2 , ⋯   , B n B_1,B_2,\cdots,B_n B1​,B2​,⋯,Bn​为样本空间 Ω \Omega Ω的一个划分， 也称为完备事件组. 若 B 1 , B 2 , ⋯   , B n B_1,B_2,\cdots,B_n B1​,B2​,⋯,Bn​是样本空间的一个划分， 那么，对每次试验， 事件 B 1 , B 2 , ⋯   , B n B_1,B_2,\cdots,B_n B1​,B2​,⋯,Bn​中必有一个且仅有一个发生.

全概率公式： 设试验 E E E的样本空间为 Ω \Omega Ω，A 为 E E E的事件 , B 1 , B 2 , ⋯   , B n ,B_1,B_2,\cdots,B_n ,B1​,B2​,⋯,Bn​为 S 的一个划分， 且 P ( B i ) > 0 ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ） , P(B_i)> 0(i= 1,2,\cdots,n）, P(Bi​)>0(i=1,2,⋯,n）,则

P ( A ) = P ( A ∣ B 1 ) P ( B 1 ) + P ( A ∣ B 2 ) P ( B 2 ) + ⋯ + P ( A ∣ B n ) P ( B n ) P(A)=P(A\mid B_1)P(B_1)+P(A\mid B_2)P(B_2)+\cdots+P(A\mid B_n)P(B_n) P(A)=P(A∣B1​)P(B1​)+P(A∣B2​)P(B2​)+⋯+P(A∣Bn​)P(Bn​)称为全概率公式。

设试验 E E E的样本空间为 Ω \Omega Ω。A为 E E E 的事件为 S , B 1 , B 2 , ⋯   , B n ,B_1,B_2,\cdots,B_n ,B1​,B2​,⋯,Bn​ 的一个划分， 且 P ( A ) > 0 , P ( B i ） > 0 ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ） , P(A)>0,P(B_i）> 0(i= 1,2,\cdots,n）, P(A)>0,P(Bi​）>0(i=1,2,⋯,n）, P ( B i ∣ A ) = P ( A ∣ B i ) P ( B i ) ∑ j = 1 n P ( A ∣ B j ) P ( B j ) , i = 1 , 2 , ⋯   , n . P(B_i\mid A)=\frac {P(A\mid B_i)P(B_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(A\mid B_j)P(B_j)},i=1,2,\cdots,n. P(Bi​∣A)=∑j=1n​P(A∣Bj​)P(Bj​)P(A∣Bi​)P(Bi​)​,i=1,2,⋯,n. 则称为贝叶斯(Bayes)公式 。

设 A，B 是两事件， 如果满足等式 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) , P(AB ) = P(A)P(B), P(AB)=P(A)P(B),则称事件 A，B 相互独立， 简称 A，B 独立。

容易知道， 若$P(A)>0，P(B)>0， $则A,B相互独立与 A，B 互不相容不能同时成立.

定理一:设 A，B是两事件， 且$ P(A)> 0. 若 A , B 相 互 独 立 ， 则 若 A,B相互独立， 则 若A,B相互独立，则 P( B|A) = P(B).$反之亦然.

定理二:若事件 A，B 相互独立,则下列事件也相互独立， A A A与 B ‾ \overline{B} B, B B B与 A ‾ \overline{A} A, A ‾ \overline{A} A,与 B ‾ \overline{B} B, A 与 B 独 立 ⇔ P ( A ∣ B ) = P ( A ∣ B ‾ ) = P ( A ) ( 0 < P ( B ) < 1 ) . ⇔ P ( B ∣ A ) = P ( B ‾ ∣ A ) = P ( B ) ( 0 < P ( A ) < 1 ) . A 与B 独立\\ \Leftrightarrow P(A\mid B)=P(A\mid \overline{B})=P(A)(0